Referaty uczniowskie & finał konkursu "Delty"

Podczas referatu przyjrzymy się szerokiej dziedzinie równań diofantycznych, krok po kroku, zachaczając trochę o historię i idąc przez intuicję genusu krzywej algebraicznej, dochodząc do samego twierdzenia Siegela. Zobaczymy wtedy jego konsekwencje, zastosowania oraz na co trzeba uważać podczas używania go. Na samym końcu zastosujemy je do zadania, bądź zadań olimpijskich.

Jednym z prostszych do sformułowania zagadnień współczesnej teorii układów dynamicznych jest pytanie o istnienie punktów okresowych. Szczególne znaczenie w tym kontekście ma twierdzenie Szarkowskiego, które ustanawia relację porządku pomiędzy możliwymi okresami punktów okresowych dla funkcji ciągłych określonych na przedziale. Obecność cyklu o danym okresie implikuje istnienie cykli o innych dlługościach, „wcześniejszych” w sensie odpowiedniego porządku. Inspiracją do napisania tej pracy jest chęć poznania zupełnie nieporuszanego na lekcjach szkolnych tematu.

W trakcie referatu omówimy parę przykładów systemów liczbowych używanych na całym świecie, ich genezę (skąd akurat takie bazy zostały wymyślone) i ich wpływ na kulturę oraz postrzeganie przez nas rzeczywistości. Oprócz systemów liczbowych moglibyśmy przyjrzeć się również klasyfikatorom, które mają za zadanie dzielić wszystkie przedmioty na specyficzne dla danego języka kategorie.

Referat zaczynam od wprowadzenia podstawowych pojęć z teorii grup (grupy, grupy abelowe itd.) oraz twierdzeń (Twierdzenie Lagrange'a itp.). Następnie wykorzystuję tę teorię oraz metody charakterystyczne dla teorii grup, udowadniając dobrze wszystkim znane twierdzenia matematyki elementarnej. Pokazuje jak może być ona przydatna w elementarnych zadaniach jakie pojawiają się na olimpiadach.

Opracowuję geometryczną procedurę znajdowania zbioru Apéry’ego dla dowolnej półgrupy numerycznej o wymiarze osadzenia równym cztery. Wykorzystuje tę metodę do wyznaczania liczb Frobeniusa, genusów, elementów Bettiego oraz stopni łańcuchowych półgrup numerycznych generowanych przez cztery kolejne kwadraty oraz cztery kolejne liczby trójkątne.

Teoria węzłów jest działem topologii zajmującym się badaniem własności węzłów i splotów. Jednym z jej podstawowych problemów jest rozróżnianie węzłów oraz ustalanie, kiedy dwa diagramy przedstawiają ten sam węzeł. Problem ten nie jest trywialny, ponieważ dwa równoważne węzły mogą mieć bardzo różne diagramy, a dwa różne węzły mogą na pierwszy rzut oka wyglądać podobnie. Z tego powodu w teorii węzłów wprowadza się niezmienniki, czyli wielkości lub własności zachowywane przy deformacjach, które nie dopuszczają przecinania krzywej.

Szczególnie interesującą klasę stanowią diagramy alternujące. Dla tej klasy znane są między innymi następujące fakty: zredukowane diagramy alternujące są minimalne, a zredukowane diagramy alternujące tego samego węzła są ze sobą związane przez ruchy flype. Dlatego, chcąc badać możliwą niezmienniczość konstrukcji zdefiniowanej na diagramach alternujących, naturalnie należy przeanalizować jej zachowanie względem tego ruchu. 

W pracy rozważam konstrukcję związaną z kolorowaniem diagramu po odpowiednim podziale jego łuków. Konstrukcja ta nie prowadzi do niezmiennika dla dowolnych diagramów węzłów. Celem jest zbadanie, czy po ograniczeniu do zredukowanych diagramów alternujących otrzymana wartość może pozostawać niezmienna. W tym celu formułuję hipotezę o niezmienniczości konstrukcji względem ruchu flype oraz przedstawiam częściową analizę tego problemu. Dodatkowo porównuję badaną konstrukcję z klasycznym kolorowaniem Foxa.

W swoim referacie przybliżę zagadnienie skończonej płaszczyzny rzutowej. Zacznę od płaszczyzny Fano i wspomnę o znanym problemie Eulera dotyczącym przyporządkowywania oficerów, aby na przykładach zbudować intuicję potrzebną do zrozumienia jej podstawowych założeń.  Odpowiem na pytanie: dlaczego Dobble jest płaszczyzną rzutową.  Wyprowadzę wzory na liczbę punktów i prostych na skończonej płaszczyźnie rzędu n oraz wyjaśnię działanie takiej płaszczyzny w praktyce.

W referacie przedstawię krótko historię tego twierdzenia i nakreślę niektóre narzędzia i metody, z których korzystał w swoim dowodzie Andrew Wiles. Skupię się na wyjaśnieniu, czym są krzywe eliptyczne oraz jak można z nich korzystać. Przedstawię również pojęcie liczb p-adycznych, jak można je intuicyjnie zrozumieć oraz przykładowy sposób ich wykorzystania w zadaniu.

Punkt Schifflera to jeden z szczególnych punktów trójkąta, wprowadzony przez K. Schifflera w 1985 roku. Ten punkt jest zdefiniowany jako przecięcie prostych Eulera trójkątów ABI, ACI, BCI, gdzie I jest środkiem okręgu wpisanego do trójkąta ABC. Punkt Schifflera ma wiele ciekawych własności geometrycznych oraz uogólnień, zwłaszcza na konfiguracje z środkami okręgów dopisanych, geometrię rzutową oraz pewną klasę krzywych stożkowych.

Podczas referatu poznamy grę Hexapawn i jej krótką historię, a potem rozważymy co się stanie jak plansza będzie szersza. Rozstrzygniemy kto ma strategię wygrywającą w zależności od szerokości planszy, i wspomnimy o paru wariantach tej gry.

Podczas referatu wprowadzimy pojęcie odcinka paraboli oraz udowodnimy twierdzenie Archimedesa o jego polu, korzystając z zasady wyczerpywania. Pokażemy również dowód opierający się na rachunku całkowym.

Prawie każdy wie czym są liczby pierwsze i wielu z nas zna się na liczbach zespolonych, jednak nie każdy wie, że istnieją ich połączenia. Dołączanie konkretnych liczb zespolonych do zbioru liczb całkowitych pozwala nam zaczerpnąć z mocy zasadniczego twierdzenia algebry i rozłożyć na czynniki wyrażenia normalnie nierozkładalne. Trzeba jednak pamiętać o zasadniczym twierdzeniu arytmetyki, które wydaje się oczywiste, jednak wcale nie musi być prawdziwe dla tych nowych systemów liczbowych. W tym referacie opowiem dokładnie o pierścieniach z jednoznacznością rozkładu i powiązanymi z nią podstawami abstrakcyjnej algebry. Przedstawię też przykłady ich wykorzystania, w tym dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla początkowych przypadków.

Algebraicznym odpowiednikiem nieskończonowartościowej logiki Łukasiewicza jest rozmaitość algebr MV. Modelem standardowym jest odcinek jednostkowy [0,1] wyposażony w działania x⊕y = min(1,x+ y) oraz ¬x = 1−x. W pracy badamy ciągłe funkcje f : [0,1] →[0,1], które komutują z tymi podstawowymi działaniami, tzn. spełniają równania funkcyjne f(x⊕y) = f(x) ⊕f(y) oraz f(¬x) =¬f(x). Dowodzimy pełnej charakteryzacji: jedynymi ciągłymi rozwiązaniami są funkcja identycznościowa oraz funkcje stałe 0 i 1. W szczególności standardowa algebra MV nie posiada nietrywialnych ciągłych endomorfizmów — jest to silna własność sztywnościowa, odróżniająca ją od wielu innych struktur algebraicznych. Rozpatrujemy także dualne działanie silnej koniunkcji ⊙ i omawiamy związki otrzymanych wyników z twierdzeniem McNaughtona o funkcjach definiowalnych w logice Łukasiewicza. Metody są elementarne i samodzielne, łącząc zwykłą analizę rzeczywistą z własnościami algebraicznymi.

Od googola i googolplexa, przez liczbę Grahama oraz funkcję TREE, aż do liczby Raya. Podczas referatu poznamy wiele niewyobrażalnie wielkich, lecz skończonych liczb. Postaramy się odpowiedzieć na pytanie: ,,Jaka jest największa liczba?" Odkryjemy coraz większe liczby zapropononowane przez matematyków, takich jak Ralph Loader, czy Stanley Skewes, a także prześledzimy pojedynek dwóch filozofów na MIT sprzed 20 lat.